سؤال وشرح للتحول العكسي لابلاس {s^2}/{s^3 + 4s^2 + 4s}

إيجاد \( h(t) \) من دالة التحويل \( H(s) \)

ابحث عن \( h(t) \) من \( H(s) = \frac{s^2}{s^3 + 4s^2 + 4s} \)

التوضيح:

يجب إجراء تحويل لابلاس العكسي. فيما يلي الخطوات التي يمكن اتباعها للحصول على \( h(t) \) من دالة التحويل \( H(s) \):

الخطوة 1: تحليل المقام من \( H(s) \)

\[ H(s) = \frac{s^2}{s^3 + 4s^2 + 4s} = \frac{s^2}{s(s^2 + 4s + 4)} = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} \]

الخطوة 2: تحويل الكسر إلى كسور جزئية أبسط لتسهيل تحديد العكس

\[ H(s) = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 2} + \frac{C}{(s + 2)^2} \]

\[ s^2 = A(s + 2)^2 + Bs(s + 2) + Cs \]

\[ s^2 = A s^2 + 4A s + 4A + B s^2 + 2B s + C s \]

\[ s^2 = (A + B) s^2 + (4A + 2B + C) s + 4A \]

الخطوة 3: تحديد المعاملات

\[ s^2 = (A + B) s^2 + (4A + 2B + C) s + 4A \]

بمقارنة المعاملات، نحصل على:

  • \(1 = A + B\)
  • \(0 = 4A + 2B + C\)
  • \(0 = 4A \Rightarrow A = 0\)

من \(1 = A + B\)، نحصل على \(1 = 0 + B \Rightarrow B = 1\)

من \(0 = 4A + 2B + C\)، نحصل على \(0 = 0 + 2 \cdot 1 + C \Rightarrow 0 = 2 + C \Rightarrow C = -2\)

الخطوة 4: الكسور الجزئية

بالتعويض عن \(A = 0\)، \(B = 1\)، و \(C = -2\) في \( H(s) \):

\[ H(s) = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} = \frac{0}{s} + \frac{1}{s + 2} + \frac{-2}{(s + 2)^2} \]

\[ H(s) = \frac{1}{s + 2} - \frac{2}{(s + 2)^2} \]

الخطوة 5: تحويل لابلاس العكسي

\[ H(s) = \frac{1}{s + 2} - \frac{2}{(s + 2)^2} \]

\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s+2)} \right\} = e^{-2t} \]

\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s+2)^2} \right\} = t e^{-2t} \]

إذًا:

\[ h(t) = e^{-2t} - 2t e^{-2t} \]

\( الرسم البياني: h(t) = e^{-2t} - 2t e^{-2t} \)
 [00420240602]

تعليقات

المشاركات الشائعة من هذه المدونة

الوقاية من التهاب الرئة: فهم أسبابه وعوامل خطره لصحة الرئة والأسرة

التهاب الرئة: من الأسباب إلى الغموض في الصين ٢٠٢٣، كشف مجموعة متنوعة من الجوانب والتهديدات الصحية