سؤال وشرح للتحول العكسي لابلاس {s^2}/{s^3 + 4s^2 + 4s}
ابحث عن \( h(t) \) من \( H(s) = \frac{s^2}{s^3 + 4s^2 + 4s} \)
التوضيح:
يجب إجراء تحويل لابلاس العكسي. فيما يلي الخطوات التي يمكن اتباعها للحصول على \( h(t) \) من دالة التحويل \( H(s) \):
الخطوة 1: تحليل المقام من \( H(s) \)
\[ H(s) = \frac{s^2}{s^3 + 4s^2 + 4s} = \frac{s^2}{s(s^2 + 4s + 4)} = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} \]
الخطوة 2: تحويل الكسر إلى كسور جزئية أبسط لتسهيل تحديد العكس
\[ H(s) = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 2} + \frac{C}{(s + 2)^2} \]
\[ s^2 = A(s + 2)^2 + Bs(s + 2) + Cs \]
\[ s^2 = A s^2 + 4A s + 4A + B s^2 + 2B s + C s \]
\[ s^2 = (A + B) s^2 + (4A + 2B + C) s + 4A \]
الخطوة 3: تحديد المعاملات
\[ s^2 = (A + B) s^2 + (4A + 2B + C) s + 4A \]
بمقارنة المعاملات، نحصل على:
- \(1 = A + B\)
- \(0 = 4A + 2B + C\)
- \(0 = 4A \Rightarrow A = 0\)
من \(1 = A + B\)، نحصل على \(1 = 0 + B \Rightarrow B = 1\)
من \(0 = 4A + 2B + C\)، نحصل على \(0 = 0 + 2 \cdot 1 + C \Rightarrow 0 = 2 + C \Rightarrow C = -2\)
الخطوة 4: الكسور الجزئية
بالتعويض عن \(A = 0\)، \(B = 1\)، و \(C = -2\) في \( H(s) \):
\[ H(s) = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} = \frac{0}{s} + \frac{1}{s + 2} + \frac{-2}{(s + 2)^2} \]
\[ H(s) = \frac{1}{s + 2} - \frac{2}{(s + 2)^2} \]
الخطوة 5: تحويل لابلاس العكسي
\[ H(s) = \frac{1}{s + 2} - \frac{2}{(s + 2)^2} \]
\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s+2)} \right\} = e^{-2t} \]
\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s+2)^2} \right\} = t e^{-2t} \]
إذًا:
\[ h(t) = e^{-2t} - 2t e^{-2t} \]
تعليقات
إرسال تعليق
لدينا الحق في حذف التعليقات التي لا تتوافق مع سياسة التعليقات الخاصة بنا.