سؤال وشرح للتحول العكسي لابلاس {s^2}/{s^3 + 4s^2 + 4s}

ابحث عن $h(t)$ من $H(s)=\frac{s^2}{s^3+4s^2+4s}$

التوضيح:

يجب إجراء تحويل لابلاس العكسي. فيما يلي الخطوات التي يمكن اتباعها للحصول على $h(t)$ من دالة التحويل $H(s)$:

الخطوة 1: تحليل المقام من $H(s)$

$$H(s)=\frac{s^2}{s^3+4s^2+4s}=\frac{s^2}{s(s^2+4s+4)}=\frac{s^2}{s(s+2{)}^2}$$

الخطوة 2: تحويل الكسر إلى كسور جزئية أبسط لتسهيل تحديد العكس

$$H(s)=\frac{s^2}{s(s+2{)}^2}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{(s+2{)}^2}$$

$$s^2=A(s+2{)}^2+Bs(s+2)+Cs$$

$$s^2=A{s}^2+4As+4A+B{s}^2+2Bs+Cs$$

$$s^2=(A+B)s^2+(4A+2B+C)s+4A$$

الخطوة 3: تحديد المعاملات

$$s^2=(A+B)s^2+(4A+2B+C)s+4A$$

بمقارنة المعاملات، نحصل على:

• $1=A+B$
• $0=4A+2B+C$
• $0=4A\Rightarrow A=0$

من $1=A+B$، نحصل على $1=0+B\Rightarrow B=1$

من $0=4A+2B+C$، نحصل على $0=0+2\cdot 1+C\Rightarrow 0=2+C\Rightarrow C=-2$

الخطوة 4: الكسور الجزئية

بالتعويض عن $A=0$، $B=1$، و $C=-2$ في $H(s)$:

$$H(s)=\frac{s^2}{s(s+2{)}^2}=\frac{0}{s}+\frac{1}{s+2}+\frac{-2}{(s+2{)}^2}$$

$$H(s)=\frac{1}{s+2}-\frac{2}{(s+2{)}^2}$$

الخطوة 5: تحويل لابلاس العكسي

$$H(s)=\frac{1}{s+2}-\frac{2}{(s+2{)}^2}$$

$${\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+2)}\right\}=e^{-2t}$$

$${\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+2{)}^2}\right\}=t{e}^{-2t}$$

إذًا:

$$h(t)=e^{-2t}-2t{e}^{-2t}$$

$الرسمالبياني:h(t)=e^{-2t}-2t{e}^{-2t}$

 [00420240602]